¿Por qué la superficie del elipsoide no tiene una fórmula sencilla?

La superficie de un elipsoide general con tres semiejes distintos no se puede expresar con funciones elementales, conduce a las llamadas integrales elípticas. Por eso en la práctica se usa una aproximación precisa, por ejemplo la fórmula de Thomsen, con un error de hasta aproximadamente el 1,1 por ciento.

¿Dónde aparece el elipsoide en la práctica?

La Tierra tiene forma de elipsoide de revolución achatado, ya que está ligeramente aplanada en los polos. Los elipsoides se usan además en geodesia como cuerpo de referencia, en óptica, en el modelado de depósitos y en biología para estimar el volumen de células y órganos.

Elipsoide: volumen y superficie - cálculo en línea, fórmula

Q: ¿Cuál es la fórmula del volumen del elipsoide?

El volumen del elipsoide se calcula como V = 4/3 · π · a · b · c, donde a, b y c son las longitudes de los tres semiejes. Si los tres son iguales, la fórmula pasa al volumen de la esfera 4/3 · π · r al cubo.

Q: ¿Qué es un elipsoide de revolución?

Un elipsoide de revolución o esferoide surge al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes, de modo que dos semiejes son iguales. Si el tercero es más corto se trata de un elipsoide achatado, y si es más largo, de uno alargado. Para ambos casos existe una fórmula exacta de la superficie.

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  Elipsoide - superficie y volumen

Calculadora interactiva — arrastra los extremos de los semiejes o introduce los valores y verás al instante el volumen y la superficie.

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Fórmula y notas

V = \frac{4}{3} π \cdot a \cdot b \cdot c

S \approx 4 π {(\frac{a^{p} b^{p} + a^{p} c^{p} + b^{p} c^{p}}{3})}^{\frac{1}{p}}

V = volumen del elipsoide

S = superficie del elipsoide

a, b, c = longitudes de los tres semiejes

p = 1,6075 (constante de Thomsen)

el volumen es exacto, la superficie con tres semiejes distintos es aproximada

¿Qué es?

El elipsoide es un cuerpo del espacio cuya sección por cualquier plano es una elipse (o una circunferencia). Lo determinan tres semiejes a, b, c perpendiculares entre sí. Si los tres son iguales, se trata de una esfera; si dos son iguales, resulta un elipsoide de revolución (esferoide) — achatado, como nuestra Tierra, o alargado, como un balón de rugby.

El volumen tiene una forma maravillosamente sencilla, V = ⁴⁄₃·π·a·b·c, y con a = b = c pasa directamente al volumen de la esfera. La superficie, en cambio, es mucho más complicada: con tres semiejes distintos no se puede escribir con funciones elementales y conduce a integrales elípticas. Por eso se emplea una aproximación precisa (la fórmula de Thomsen, con un error de hasta ~1,1 %). Esta calculadora calcula la superficie de forma exacta cuando se trata de una esfera o de un elipsoide de revolución, y de forma aproximada en los demás casos — y siempre lo indica.

Calculadora

Unidad de longitud

Semieje acm

Semieje bcm

Semieje ccm

Volumen del elipsoide V

–

fórmula exacta ⁴⁄₃·π·a·b·c

Superficie del elipsoide S

–

Tipo de cuerpo

–

Razón de los ejes a : b : c

–

Gráfico interactivo

Arrastra los puntos de color — cambian las longitudes de los semiejes Centrar

Ejemplo resuelto

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Dónde lo encontramos

La Tierra es un elipsoide de revolución achatado — el radio en el ecuador es unos 21 km mayor que en los polos.
La geodesia emplea un elipsoide de referencia (por ejemplo WGS 84) como modelo de la forma de la Tierra para el GPS.
El balón de rugby o de fútbol americano tiene forma de elipsoide de revolución alargado.
La biología y la medicina — el volumen de células, óvulos u órganos se estima a menudo con la fórmula del elipsoide.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del volumen del elipsoide?

V = ⁴⁄₃ · π · a · b · c, donde a, b y c son los tres semiejes. Si todos son iguales (a = b = c = r), la fórmula pasa al volumen de la esfera ⁴⁄₃ · π · r³.

¿Por qué la superficie no tiene una fórmula sencilla?

La superficie de un elipsoide general con tres semiejes distintos no se puede expresar con funciones elementales — conduce a integrales elípticas. Por eso se usa una aproximación; la fórmula de Thomsen tiene un error de hasta aproximadamente 1,1 %. Para la esfera y el elipsoide de revolución sí existen fórmulas exactas, y esta calculadora las utiliza.

¿Qué es un elipsoide de revolución (esferoide)?

Surge al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes, de modo que dos semiejes son iguales. Si el tercero es más corto, es achatado (como la Tierra); si es más largo, alargado (como un balón de rugby).

¿Qué relación tiene el elipsoide con la esfera?

La esfera es un caso especial del elipsoide, en el que a = b = c. Así, el elipsoide se puede imaginar como una esfera estirada de forma desigual en tres direcciones perpendiculares entre sí.

Ejercicios para practicar

Resuelve paso a paso — el siguiente paso se desbloquea solo tras una respuesta correcta. Puedes escribir los decimales con coma o con punto.