Sector esférico - área y volumen

Un sector esférico es el sólido que un cono recorta de una esfera cuando su vértice está justo en el centro de la esfera. El cono dibuja una circunferencia sobre la superficie esférica, y todo lo que queda encerrado entre el cono y el trozo de esfera que delimita forma el sector. Está compuesto, por tanto, por dos cuerpos conocidos: un casquete esférico apoyado sobre un cono, ambos con el mismo borde circular de radio a. Dos medidas lo describen por completo: el radio R de la esfera y la altura h del casquete medida sobre el eje. Como todo segmento recto que va del centro al borde es un radio de la esfera, la generatriz del cono siempre vale R, y por eso la fórmula de la superficie resulta tan compacta. Cuando h es igual a R el sector se convierte en un hemisferio, y cuando h llega a 2R ocupa la esfera entera.

El volumen V = (2/3)·π·R²·h depende solo de R y h, y la superficie total S = π·R·(2h + a) suma el casquete curvo 2πRh a la superficie lateral del cono πRa. El término del casquete es además la base geométrica del ángulo sólido: al dividir 2πRh entre R² se obtiene el tamaño del cono de direcciones en estereorradianes, motivo por el cual esta figura aparece en óptica, radiometría y teoría de antenas. Los geógrafos utilizan la misma geometría para medir un casquete polar sobre el globo, los ingenieros la encuentran en los fondos abombados de los recipientes a presión y en los segmentos de cúpula, y en geometría del espacio el sector esférico es un ejercicio clásico porque combina dos sólidos sencillos en un par de fórmulas muy limpias.