Alfa (A)
–
Propiedades del triángulo
Explorador interactivo — agarra el vértice A, B o C y arrástralo. Los ángulos y los lados se recalculan en vivo.
Foto
Fórmula y notas
α + β + γ = 180°
α′ = 180° − α = β + γ
α′ + β′ + γ′ = 360°
α, β, γ = ángulos interiores en los vértices A, B, C
α′, β′, γ′ = ángulos exteriores (suplementos hasta 180°)
a = BC, b = AC, c = AB (lados)
desigualdad triangular: a + b > c, a + c > b, b + c > a
¿Qué es?
El triángulo es una figura plana con tres vértices y tres lados. No importa cómo lo dibujemos: la suma de sus ángulos interiores es siempre exactamente 180°. Gracias a ello basta con conocer dos ángulos y el tercero se obtiene restando de 180°.
Si prolongamos uno de los lados más allá de un vértice, aparece un ángulo exterior. Es el suplemento del ángulo interior hasta 180° y, según el teorema del ángulo exterior, es igual a la suma de los dos ángulos interiores de los vértices restantes. La suma de los tres ángulos exteriores es 360°. Para que un triángulo pueda construirse siquiera, debe cumplirse la desigualdad triangular: la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado.
Gráfico interactivo
Arrastra los vértices A, B, C ángulos exteriorescentrar
–
Ángulos y lados
+
Beta (B)
–
+
Gamma (C)
–
=
–
✓ La suma de los ángulos interiores es siempre exactamente 180°
Alfa′
–
+
Beta′
–
+
Gamma′
–
=
–
✓ La suma de los ángulos exteriores es siempre 360° · α′ = β + γ
| Lado | Longitud | Valor |
|---|---|---|
| Lado a (BC) | – | |
| Lado b (AC) | – | |
| Lado c (AB) | – |
1. Suma de los ángulos interiores
- Regla: en todo triángulo se cumple α + β + γ = 180°.
- Por qué: si por un vértice trazamos una paralela al lado opuesto, los tres ángulos encajan formando un ángulo llano.
- Consecuencia: si conocemos dos ángulos, el tercero es 180° − (α + β).
- Tipo según los ángulos: todos los ángulos menores de 90° → acutángulo; uno igual a 90° → rectángulo; uno mayor de 90° → obtusángulo.
2. Ángulos exteriores
- Cómo surge: prolongando un lado más allá del vértice; junto con el ángulo interior forma un ángulo llano.
- Relación: α′ = 180° − α (igual para β′ y γ′).
- Teorema del ángulo exterior: α′ = β + γ — el ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
- Suma: α′ + β′ + γ′ = 540° − 180° = 360°, y eso en todo triángulo.
3. Desigualdad triangular
- Regla: la suma de dos lados cualesquiera debe ser mayor que el tercer lado.
- Condiciones: a + b > c, a + c > b, b + c > a — las tres deben cumplirse a la vez.
- Si no se cumple: ese triángulo no se puede construir, los lados simplemente no llegan a encontrarse.
- Tipo según los lados: todos iguales → equilátero; dos iguales → isósceles; todos distintos → escaleno.
Ejemplo resuelto
Ejercicio 1: En el triángulo ABC conocemos los ángulos α = 55° y β = 70°. Calcula la medida del tercer ángulo γ.
Solución: γ = 180° − (55° + 70°) = 180° − 125° = 55° → como α = γ, se trata de un triángulo isósceles.
Ejercicio 2: Averigua si es posible construir un triángulo con los lados a = 4 cm, b = 3 cm y c = 8 cm.
Solución: a + b = 4 + 3 = 7 cm, que no es mayor que 8 cm. El triángulo no se puede construir.
Ejercicio 3: El ángulo interior α = 62°. ¿Cuánto mide el ángulo exterior α′ en ese mismo vértice?
Solución: α′ = 180° − 62° = 118°.
Ejercicio 4: En un triángulo β = 48° y γ = 71°. Calcula el ángulo exterior α′ en el vértice A.
Solución (teorema del ángulo exterior): α′ = β + γ = 48° + 71° = 119°. Comprobación: α = 180° − 119° = 61° y 61° + 48° + 71° = 180° ✓
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?
En todo triángulo exactamente 180°: α + β + γ = 180°. Se cumple sin excepción, por eso, si conocemos dos ángulos, el tercero se obtiene como 180° − (α + β).
¿Qué es un ángulo exterior del triángulo?
Es el ángulo que aparece al prolongar un lado más allá del vértice. Junto con el ángulo interior de ese vértice forma un ángulo llano, es decir α′ = 180° − α. La suma de los tres ángulos exteriores es 360°.
¿Qué dice el teorema del ángulo exterior?
El ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores de los vértices restantes: α′ = β + γ. Se deduce directamente de la suma de 180°, porque α′ = 180° − α = (α + β + γ) − α.
¿Por qué algunos triángulos no se pueden construir?
Porque incumplen la desigualdad triangular — la suma de dos lados debe ser mayor que el tercero. Si por ejemplo a + b ≤ c, los lados más cortos no llegan a encontrarse durante la construcción y la figura no se forma.
Ejercicios para practicar
Resuelve paso a paso — el siguiente paso se desbloquea solo tras una respuesta correcta. Puedes escribir los decimales con coma o con punto.
