FORMIAX

 

Vlastnosti trojuholníka

 

Interaktívny prieskumník — chyť vrchol A, B alebo C a ťahaj. Uhly aj strany sa prepočítajú naživo.

Vzorce + vysvetlivky

α + β + γ = 180°

α′ = 180° − α = β + γ

α′ + β′ + γ′ = 360°

α, β, γ = vnútorné uhly pri vrcholoch A, B, C

α′, β′, γ′ = vonkajšie uhly (doplnky do 180°)

a = BC, b = AC, c = AB (strany)

trojuholníková nerovnosť: a + b > c, a + c > b, b + c > a

Čo to je?

Trojuholník je rovinný útvar s tromi vrcholmi a tromi stranami. Nech ho nakreslíme akokoľvek, súčet jeho vnútorných uhlov je vždy presne 180°. Vďaka tomu stačí poznať dva uhly a tretí dopočítame odčítaním od 180°.

Ak niektorú stranu predĺžime za vrchol, vznikne vonkajší uhol. Ten je doplnkom vnútorného uhla do 180° a podľa vety o vonkajšom uhle sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch. Súčet všetkých troch vonkajších uhlov je 360°. Aby sa trojuholník vôbec dal zostrojiť, musí platiť trojuholníková nerovnosť: súčet každých dvoch strán je väčší ako tretia strana.

Prieskumník trojuholníka

Ťahaj vrcholy A, B, C vonkajšie uhlyvycentrovať

–
Uhly a strany
Alfa (A)
–
+
Beta (B)
–
+
Gama (C)
–
=
–

✓ Súčet vnútorných uhlov je vždy presne 180°

Alfa′
–
+
Beta′
–
+
Gama′
–
=
–

✓ Súčet vonkajších uhlov je vždy 360°  ·  α′ = β + γ

StranaDĺžkaHodnota
Strana a (BC)
–
Strana b (AC)
–
Strana c (AB)
–
1. Súčet vnútorných uhlov
  • Pravidlo: pre každý trojuholník platí α + β + γ = 180°.
  • Prečo: ak vrcholom vedieme rovnobežku so protiľahlou stranou, tri uhly sa poskladajú do priameho uhla.
  • Dôsledok: ak poznáme dva uhly, tretí je 180° − (α + β).
  • Typ podľa uhlov: všetky uhly menšie ako 90° → ostrouhlý; jeden 90° → pravouhlý; jeden väčší ako 90° → tupouhlý.
2. Vonkajšie uhly
  • Vznik: predĺžením strany za vrchol; s vnútorným uhlom tvorí priamy uhol.
  • Vzťah: α′ = 180° − α (rovnako β′ a γ′).
  • Veta o vonkajšom uhle: α′ = β + γ — vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch protiľahlých vnútorných uhlov.
  • Súčet: α′ + β′ + γ′ = 540° − 180° = 360°, a to v každom trojuholníku.
3. Trojuholníková nerovnosť
  • Pravidlo: súčet ľubovoľných dvoch strán musí byť väčší ako tretia strana.
  • Podmienky: a + b > c, a + c > b, b + c > a — musia platiť všetky tri naraz.
  • Ak neplatí: taký trojuholník sa nedá zostrojiť, strany sa „nestretnú“.
  • Typ podľa strán: všetky rovnaké → rovnostranný; dve rovnaké → rovnoramenný; všetky rôzne → rôznostranný.
Príklady na precvičenie
Úloha 1: V trojuholníku ABC poznáme uhly α = 55° a β = 70°. Vypočítaj veľkosť tretieho uhla γ.
Riešenie: γ = 180° − (55° + 70°) = 180° − 125° = 55° → keďže α = γ, ide o rovnoramenný trojuholník.
Úloha 2: Zisti, či je možné zostrojiť trojuholník so stranami a = 4 cm, b = 3 cm a c = 8 cm.
Riešenie: a + b = 4 + 3 = 7 cm, čo nie je väčšie ako 8 cm. Trojuholník sa nedá zostrojiť.
Úloha 3: Vnútorný uhol α = 62°. Aký veľký je vonkajší uhol α′ pri tom istom vrchole?
Riešenie: α′ = 180° − 62° = 118°.
Úloha 4: V trojuholníku je β = 48° a γ = 71°. Vypočítaj vonkajší uhol α′ pri vrchole A.
Riešenie (veta o vonkajšom uhle): α′ = β + γ = 48° + 71° = 119°. Kontrola: α = 180° − 119° = 61° a 61° + 48° + 71° = 180° ✓
Časté otázky
Koľko je súčet vnútorných uhlov trojuholníka?
V každom trojuholníku presne 180°: α + β + γ = 180°. Platí to bez výnimky, preto pri známych dvoch uhloch tretí dopočítame ako 180° − (α + β).
Čo je vonkajší uhol trojuholníka?
Uhol, ktorý vznikne predĺžením strany za vrchol. S vnútorným uhlom pri tom vrchole tvorí priamy uhol, teda α′ = 180° − α. Súčet všetkých troch vonkajších uhlov je 360°.
Ako znie veta o vonkajšom uhle?
Vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch: α′ = β + γ. Vyplýva to priamo zo súčtu 180°, lebo α′ = 180° − α = (α + β + γ) − α.
Prečo sa niektoré trojuholníky nedajú zostrojiť?
Lebo porušujú trojuholníkovú nerovnosť — súčet dvoch strán musí byť väčší ako tretia. Ak je napríklad a + b ≤ c, kratšie strany sa pri zostrojovaní „nestretnú“ a útvar nevznikne.
Mohlo by Vás zaujímať

Príklady na precvičenie

Rieš krok po kroku — ďalší krok sa odomkne až po správnej odpovedi. Desatinné čísla môžeš písať s čiarkou aj bodkou.

Komentáre
Formiax