FORMIAX

 

Množiny a Vennov diagram

 

Chyť číslo a presuň ho po diagrame — tabuľka príslušnosti aj počty prvkov sa prepočítajú okamžite.

Vzorce + vysvetlivky

A ∩ B  ·  A ∪ B  ·  A \ B

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

A ∩ B = prienik — prvky patriace do A aj do B

A ∪ B = zjednotenie — prvky patriace do A alebo do B

A \ B = rozdiel — prvky z A, ktoré nie sú v B

|A| = kardinalita — počet prvkov množiny A

U = univerzum — všetky uvažované prvky

Čo to je?

Množina je súhrn navzájom odlíšiteľných prvkov. O každom prvku vieme jednoznačne povedať, či do množiny patrí (x ∈ A), alebo nepatrí (x ∉ A). Vennov diagram zobrazuje množiny ako kruhy vnútri obdĺžnika, ktorý predstavuje univerzum U — všetky uvažované prvky.

Prekrytie kruhov je prienik A ∩ B, celá plocha oboch kruhov je zjednotenie A ∪ B a časť kruhu A mimo B je rozdiel A \ B. Keďže spoločné prvky by sme pri obyčajnom sčítaní |A| + |B| započítali dvakrát, pri počítaní zjednotenia ich raz odpočítame — to je princíp zapojenia a vypojenia.

Vennov diagram

Ťahaj čísla do kruhov + pridať prvokobnoviť

U A B
Príslušnosť a počty
Prvokx ∈ Ax ∈ BA ∩ BA ∪ BA \ BB \ A
Počet v A  |A|0
Počet v B  |B|0
Prienik  |A ∩ B|0
Zjednotenie  |A ∪ B|0
Princíp zapojenia a vypojenia
–
1. Prienik a zjednotenie
  • Prienik A ∩ B: prvky patriace súčasne do A aj do B — prekrytie kruhov.
  • Zjednotenie A ∪ B: prvky patriace aspoň do jednej z množín; spoločné rátame len raz.
  • Disjunktné množiny: ak nemajú spoločný prvok, platí A ∩ B = ∅.
  • Obe operácie sú komutatívne: A ∩ B = B ∩ A aj A ∪ B = B ∪ A.
2. Rozdiel množín
  • A \ B: prvky, ktoré sú v A, ale nie sú v B.
  • Nie je komutatívny: A \ B a B \ A sú spravidla rôzne množiny.
  • Rozklad: A ∪ B sa dá rozdeliť na tri nepretínajúce sa časti — A \ B, A ∩ B a B \ A.
  • Ak A ⊆ B (A je podmnožinou B), potom A \ B = ∅.
3. Počet prvkov
  • Kardinalita |A| je počet prvkov množiny A.
  • Princíp zapojenia a vypojenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  • Prečo mínus: spoločné prvky by sme pri sčítaní |A| + |B| započítali dvakrát.
  • Ak sú množiny disjunktné, vzorec sa zjednoduší na |A ∪ B| = |A| + |B|.
Príklady na precvičenie
Úloha 1: A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}. Urč A ∩ B, A ∪ B a A \ B.
Riešenie: A ∩ B = {3; 4}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}, A \ B = {1; 2}.
Úloha 2: V triede je 30 žiakov. Futbal hrá 18, hokej 12 a obidva športy 5 žiakov. Koľko žiakov hrá aspoň jeden z nich?
Riešenie: |F ∪ H| = 18 + 12 − 5 = 25 žiakov. Žiadny z týchto športov nehrá 30 − 25 = 5 žiakov.
Úloha 3: |A| = 14, |B| = 9, |A ∩ B| = 4. Koľko prvkov má A \ B?
Riešenie: A \ B = |A| − |A ∩ B| = 14 − 4 = 10 prvkov.
Úloha 4: Množiny A a B sú disjunktné, |A| = 7 a |B| = 6. Urč |A ∩ B| a |A ∪ B|.
Riešenie: disjunktné znamená bez spoločných prvkov, teda |A ∩ B| = 0 a |A ∪ B| = 7 + 6 − 0 = 13.
Časté otázky
Čo je prienik množín?
A ∩ B je množina prvkov, ktoré patria súčasne do A aj do B — vo Vennovom diagrame prekrývajúca sa časť kruhov. Ak spoločný prvok neexistuje, prienik je prázdna množina ∅.
Čo je zjednotenie množín?
A ∪ B je množina prvkov, ktoré patria aspoň do jednej z množín. Je to celá plocha oboch kruhov, pričom spoločné prvky sa počítajú iba raz.
Čím sa líši A \ B od B \ A?
A \ B sú prvky z A, ktoré nie sú v B; B \ A naopak prvky z B, ktoré nie sú v A. Rozdiel nie je komutatívny, takže obe množiny sú spravidla rôzne.
Prečo sa v vzorci odčítava prienik?
Pri sčítaní |A| + |B| by sme prvky ležiace v oboch množinách započítali dvakrát. Preto ich raz odčítame: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Ide o princíp zapojenia a vypojenia.
Mohlo by Vás zaujímať

Komentáre
Formiax