FORMIAX

 

Elipsoid - povrch a objem

 

Interaktívna kalkulačka — ťahaj koncové body polosí alebo zadaj hodnoty a hneď vidíš objem aj povrch.

Nákres
a b c
Vzorec + vysvetlivky
V=43π·a·b·c S≈4π(apbp+apcp+bpcp3)1p

V = objem elipsoidu

S = povrch elipsoidu

a, b, c = dĺžky troch polosí

p = 1,6075 (Thomsenova konštanta)

objem je presný, povrch pri troch rôznych polosiach približný

Čo to je?

Elipsoid je priestorové teleso, ktorého každý rez rovinou je elipsa (alebo kružnica). Určujú ho tri navzájom kolmé polosi a, b, c. Ak sú všetky tri rovnaké, ide o guľu; ak sú rovnaké dve, vznikne rotačný elipsoid (sferoid) — sploštený, ako naša Zem, alebo pretiahnutý, ako lopta na ragby.

Objem má krásne jednoduchý tvar V = ⁴⁄₃·π·a·b·c a pri a = b = c prejde priamo na objem gule. Povrch je však oveľa zložitejší: pre tri rôzne polosi sa nedá zapísať elementárnymi funkciami a vedie na eliptické integrály. Preto sa používa presná aproximácia (Thomsenov vzorec s chybou do ~1,1 %). Táto kalkulačka počíta povrch presne, keď ide o guľu alebo rotačný elipsoid, a približne v ostatných prípadoch — vždy to aj zobrazí.

Kalkulačka
cm
cm
cm

Objem elipsoidu V

–

presný vzorec ⁴⁄₃·π·a·b·c

Povrch elipsoidu S

–

Typ telesa

–

Pomer osí a : b : c

–

Interaktívny nákres

Ťahaj farebné body — menia dĺžky polosí vycentrovať

a b c
Riešený príklad
Mohlo by Vás zaujímať

Kde ho nájdeme
  • Zem je sploštený rotačný elipsoid — polomer na rovníku je približne o 21 km väčší ako na póloch.
  • Geodézia používa referenčný elipsoid (napr. WGS 84) ako model tvaru Zeme pre GPS.
  • Lopta na ragby alebo americký futbal má tvar pretiahnutého rotačného elipsoidu.
  • Biológia a medicína — objem buniek, vajíčok či orgánov sa často odhaduje práve vzorcom elipsoidu.
Časté otázky
Aký je vzorec pre objem elipsoidu?
V = ⁴⁄₃ · π · a · b · c, kde a, b, c sú tri polosi. Ak sú všetky rovnaké (a = b = c = r), vzorec prejde na objem gule ⁴⁄₃ · π · r³.
Prečo nemá povrch jednoduchý vzorec?
Povrch všeobecného elipsoidu s tromi rôznymi polosami sa nedá vyjadriť elementárnymi funkciami — vedie na eliptické integrály. Preto sa používa aproximácia; Thomsenov vzorec má chybu do zhruba 1,1 %. Pre guľu a rotačný elipsoid presné vzorce existujú a táto kalkulačka ich používa.
Čo je rotačný elipsoid (sferoid)?
Vznikne otáčaním elipsy okolo jednej z osí, takže dve polosi sú rovnaké. Ak je tretia kratšia, ide o sploštený (ako Zem), ak dlhšia, o pretiahnutý (ako ragbyová lopta).
Ako súvisí elipsoid s guľou?
Guľa je špeciálny prípad elipsoidu, kde a = b = c. Elipsoid si teda možno predstaviť ako guľu nerovnomerne roztiahnutú v troch navzájom kolmých smeroch.
Príklady na precvičenie

Rieš krok po kroku — ďalší krok sa odomkne až po správnej odpovedi. Desatinné čísla môžeš písať s čiarkou aj bodkou.

Komentáre
Formiax